Elementos históricos sobre os números Decimais
Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.
Os egípcios usavam apenas frações que possuíam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.
Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.
1437 | 1 | 2 | 3 | ||
---|---|---|---|---|---|
= | 1, | 4 | 3 | 7 | |
1000 |
A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
437 100 | = 4,37 |
---|
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Frações e Numeros Decimais
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.
Exemplos de frações decimais são: 1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples como:
127 100 | = | 1,27 |
---|
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127 100 | = | 100+27 100 | = | 100 100 | + | 27 100 | = 1+0,27 = 1,27 |
---|
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.
Leitura de números decimais
Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.
Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas | Dezenas | Unidades | , | Décimos | Centésimos | Milésimos |
---|
Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena | 3 dezenas | 0 unidades | , | 8 décimos | 2 centésimos | 4 milésimos |
---|
Exemplos:
0,6 | Seis décimos |
---|---|
0,37 | Trinta e sete centésimos |
0,189 | Cento e oitenta e nove milésimos |
3,7 | Três inteiros e sete décimos |
13,45 | Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos |
130,824 | Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos |
Transformação de frações decimais em números decimais
Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira | parte fracionária | |
---|---|---|
0 | , | 1 |
Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte inteira | parte fracionária | |
---|---|---|
2 | , | 31 |
Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador.
Exemplos:
130/100 = 1,30
987/1000 = 0,987
5/1000 = 0,005
Transformação de números decimais em frações decimais
Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado.
Exemplos:
0,5 = 5/10
0,05 = 5/100
2,41 = 241/100
7,345 = 7345/1000
Propriedades dos números decimais
Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal.
Exemplos:
0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
1,0002 = 1,00020 = 1,000200
3,1415926535 = 3,141592653500000000
Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais.
Exemplos:
7,4 x 10 = 74
7,4 x 100 = 740
7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais.
Exemplos:
247,5 ÷ 10 = 24,75
247,5 ÷ 100 = 2,475
247,5 ÷ 1000 = 0,2475
Operações com números decimais
Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:
(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais.
Exemplos:
2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723
(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:
• o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número;
• o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número;
• o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc);
• a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula e;
• a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.
Exemplos:
2,400 2,400 + 1,723 - 1,723 ------- -------
(c) Realizar a adição ou a subtração.
Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cada um dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador.
Exemplo:
2,25×3,5 = | 225 100 | × | 35 10 | = | 225×35 100×10 | = | 7875 1000 | = 7,875 |
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Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador.
Exemplo:
2,25 | 2 casas decimais | multiplicando | |
---|---|---|---|
x | 3,5 | 1 casa decimal | multiplicador |
1125 | |||
+ | 675 | ||
7875 | |||
7,875 | 3 casas decimais | Produto |
Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Por exemplo: 3,6/0,4=?
Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática, dizemos que "cortamos" a vírgula.
3,6÷0,4 = | 3,6 0,4 | = | 36×10 4×10 | = | 36 4 | = 9 |
---|
Um outro exemplo:
0,35÷7= | 0,35 7 | = | 0,35×100 7×100 | = | 35 700 | = | 35÷7 700÷7 | = | 5 100 | = 0,05 |
---|
Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.
Problema: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?
Divisão quando o dividendo é menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por 700(divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos, 3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.
Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficará dividido por 100.
dividendo | 3500 | 700 | divisor |
---|---|---|---|
resto | 0 | 0,05 | quociente |
Efetua-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5.
Concluímos que 0,35/7 = 35/700 = 0,05
Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.
10 | 16 |
---|---|
? |
(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.
100 | 16 |
---|---|
0, |
(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.
100 | 16 |
---|---|
-96 | 0,6 |
4 |
(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 4.
100 | 16 |
---|---|
-96 | 0,6 |
40 |
(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.
100 | 16 |
---|---|
-96 | 0,62 |
40 | |
-32 | |
8 |
(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.
100 | 16 |
---|---|
-96 | 0,625 |
40 | |
-32 | |
80 | |
-80 | |
0 |
Logo, a divisão 10/16 é igual a 0,625. Note que o quociente é um número decimal exato, embora não seja um inteiro.
Comparação de números decimais
A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (maior); < (menor) ou = (igual).
Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior.
Exemplos:
4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.
3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.
Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles.
Exemplos:
12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.
8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.
4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3
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